Idei geniale care au schimbat omenirea – Analiza Matematică 

0
43

În cartea sa Taming the Infinite (Îmblânzirea infinitului) profesorul Ian Stewart declară că analiza matematică a fost „cea mai semnificativă evoluție din istoria matematicii“.

Este o idee îndrăzneaţă, însă poate fi susţinută prin numeroase argumente. Analiza matematică a fost tipul de matematică ce a determinat revoluţia ştiinţifică începută în secolul al XVII-lea şi care continuă până astăzi. S-a dovedit a fi matematica lumii naturale şi a permis ca totul, de la traiectoria planetelor până la dezvoltarea coloniilor de furnici, să fie analizat matematic.

Anterior, matematica era utilă doar pentru a analiza lucrurile imobile sau care se mişcă exact în acelaşi ritm, iar acesta este motivul pentru care, înainte de analiza matematică, matematica fusese folosită doar pentru logica abstractă, pentru calculele financiare şi arhitecturale şi pentru calculele matematice de bază. Analiza matematică a permis matematicii să exploreze aspecte care se schimbă sau care se mişcă într-un ritm variat.

Pentru că aceasta se aplică aproape la orice în natură, schimbarea a fost profundă şi de anvergură. A dat oamenilor de ştiinţă un instrument puternic şi unic pentru a explora şi a explica lumea naturală. Poarta către analiza matematică a fost larg deschisă la începutul secolului al XVII-lea, când Fermat şi Descartes au realizat că algebra şi geometria pot fi legate folosind coordonate – două sau mai multe numere care indică un loc în relaţie cu linii de referinţă, cum ar fi axele dintr-un grafic.

Cu ajutorul coordonatelor, întreaga geometrie poate fi rezumată în ecuaţii de algebră şi, teoretic, fiecare ecuaţie poate fi transpusă geometric sub formă de curbe şi linii, într-un grafic. Reunirea algebrei şi geometriei într-un nou tip de matematică, denumită geometrie analitică, a permis, pentru prima dată, ca matematica să fie folosită pentru a analiza modul în care se mişcă şi se transformă lucrurile. Însă lipseau două elemente fundamentale.

Geometria analitică nu putea studia rata de variație a lucrurilor şi nici nu putea analiza volumul de transformări care au avut loc. De exemplu, putea arăta cât de departe ajunge un obiect într-un anumit timp, însă nu şi viteza şi accelerația lui într-un anumit punct. Acest lucru este similar cu studierea zborului unei păsări observând doar de unde își ia zborul şi unde aterizează.

Aici intervine analiza matematică. Vă permite să analizaţi ce se întâmplă în intervalul acesta. Imaginaţi-vă că trântiți un ghiveci cu flori de pe pervaz. Legea gravitaţiei a lui Newton vă spune că acesta accelerează în jos şi apoi se sparge de caldarâm cu o oarecare forţă. Dar ce viteză va avea ghiveciul la o secundă după ce cade? Puteţi calcula viteza sa medie măsurând cât de departe ajunge într-o secundă. Însă acest lucru nu vă spune cât de repede se deplasează – viteza instantanee a ghiveciului.

Analiza matematică oferă răspunsul folosind limitele. Dacă măsuraţi viteza medie între două limite – sau punctele de pe fiecare parte a punctului pe care îl atinge după o secundă –, sunteţi foarte aproape de viteza instantanee. Cu cât sunt mai apropiate limitele, cu atât vă apropiaţi mai mult de viteza instantanee.

Poate că vă gândiţi că, dacă ați reduce limitele la zero, aţi obţine exact viteza instantanee. Dar, dacă limitele ar fi egale cu zero, atunci ghiveciul nu s-ar mai fi deplasat deloc între ele. Nu s-ar fi deplasat pe nici o distanţă şi nu ar fi necesitat un timp pentru a face asta. Deci aţi obţine viteza zero.

Filosoful şi episcopul irlandez Berkeley a adus o critică faimoasă analizei matematice, din cauza acestei probleme, descriind-o drept „stafiile cantităţilor plecate“. Matematicienii au avut nevoie de două secole pentru a rezolva enigma, însă, până atunci, analiza matematică şi-a demonstrat din plin valoarea. Meritul pentru inventarea analizei matematice a constituit aproape imediat subiectul unei polemici aprinse.

A fost oare invenţia filosofului şi matematicianului german de geniu Gottfried Wilhelm Leibniz? Sau a fost personalitatea de marcă a ştiinţei engleze, creatorul legilor mişcării şi al teoriei gravitaţiei, Sir Isaac Newton, cel care a inventat-o?

În termenii priorităţii cronologice, câştigătorul a fost Leibniz. De asemenea, Leibniz a fost cel care a dat analizei matematice notaţia pe care o utilizează astăzi, cum ar fi termenii „delta“ x şi „delta“ y. Însă scrierile sale erau atât de fragmentate şi de obscure, încât chiar şi unii dintre susţinătorii săi, fraţii italieni Bernoulli, Jacob şi Johann, au scris despre prima sa descriere a analizei matematice că este „mai degrabă o enigmă decât o explicaţie“.

Newton a creat o descriere mult mai clară şi mai completă. Ideile sale au fost rezumate pentru prima dată în 1671, într-o carte intitulată Metoda derivatelor şi a seriei infinite. El a denumit aceste entități matematice „derivate“, deoarece ideea de limite era aceea a unei cantităţi care tinde către zero, însă care nu ajunge acolo de fapt.

Newton era faimos pentru precauţia şi rezervarea sa, aşa că a folosit doar calcule simple în marea sa lucrare Principia, în care sublinia legile mişcării şi ale gravitaţiei, însă sunt şanse să fi creat entități matematice pentru a elabora aceste mari teorii – pentru că, matematic vorbind, acestea aveau nevoie de analiză matematică pentru a fi expri mate complet.

Analiza matematică, aşa cum a fost elaborată de Leibniz şi de Newton, implică două operaţiuni principale: diferenţierea şi integrarea. Diferenţierea provine de la ideea de a delimita, iar integrarea de la ideea de include.

Sunt fețe diferite ale aceleiaşi monede, deşi fiecare a condus la o ramură proprie în analiza matematică: calculul diferenţial şi calculul integral. Diferenţierea se referă la calcularea ratelor de variație, la fel ca în cazul ghiveciului nostru trântit. În termenii geometriei graficelor, este, de asemenea, o modalitate de a găsi tangente la curbe.

Integrarea este opusul acestui lucru: găsirea cantităţii a ceva, dacă îi ştiţi rata variației. În termenii geometriei graficelor, se referă la găsirea zonei de sub curba dintre două puncte.

Lupta pentru întâietate în privinţa celui care a descoperit analiza matematică, Leibniz sau Newton, a creat o rivalitate intelectuală între Marea Britanie şi Europa, care a fost extraordinară pentru filosofia empirică britanică, dar a fost un dezastru pentru matematica britanică. Deşi sistemul de analiză matematică al lui Newton era mult mai coerent şi mai dezvoltat decât cel al lui Leibniz, faptul că se concentrează asupra geometriei s-a dovedit a fi, în mod ironic, un handicap.

Între timp, matematicienii de pe continent au făcut un progres mai rapid cu analiza matematică bazată mai mult pe algebră a lui Leibniz. Totuşi, abia după ce au fost rezolvate diferenţele, şi a fost rezolvată problema zeroului fantomatic al lui Berkeley prin dezvoltarea analizei, la începutul anilor 1800, puterea întreagă a analizei matematice a fost în sfârşit eliberată. De atunci încolo, analiza matematică a stat la baza ştiinţei.

Numărul mare de descoperiri ştiinţifice făcute posibile de analiza matematică este extraordinar. Fără aceasta, probabil că nu ar fi existat nici o lege a mişcării şi nici vreo lege a gravitaţiei. Nu ar fi existat teoria electromagnetismului, a relativităţii sau a fizicii cuantice. Nu ar fi existat teoria Big Bangului sau informaţiile legate de găurile negre.

Toate acestea, şi mult mai multe teorii ştiinţifice importante depind de analiza ratelor de variație. Analiza matematică este la fel de importantă pentru tehnologie. Procedeul de calcul al traiectoriei sondelor spaţiale depinde de aceasta. La fel şi calcularea modului în care va zbura o aeronavă. Sau cum va exploda o bombă.

Chiar şi modul în care înţelegem cum se schimbă populaţiile de animale sau cum vor evolua instrumentele financiare poate fi explorat cu ajutorul analizei matematice. În medicină, analiza matematică este utilizată pentru a planifica cea mai eficientă modalitate de a interveni şi de a opri răspândirea epidemiilor, sau pentru a calcula momentul de administrare şi dozajul medicamentelor, sau unghiul de inserare a unui vas de sânge artificial, pentru a asigura o circulaţie optimă.

Desigur, analiza matematică este o idee grozavă nu doar datorită gamei largi de utilizări pe care le are, mai ales în domeniul ştiinţei, sau chiar datorită rolului-cheie pe care l-a jucat în punerea în practică a principalelor teorii ştiinţifice ale ultimelor două secole – chiar dacă acest lucru este destul de uimitor.

Ceea ce o face atât de importantă este frumuseţea unui asemenea instrument ingenios şi genial, care ne poate explica legile naturii – şi ne poate dezvălui modele despre care nici nu ştiam că există. Newton şi Leibniz sunt consideraţi, pe bună dreptate, genii datorită creării analizei matematice – totuşi, chiar dacă s-ar fi găsit şi altcineva, poate, să se gândească la asta dacă nu se gândeau ei, s-a întâmplat ca tocmai ei să aibă gândirea profundă pentru a analiza ceva atât de fundamental, însă atât de greu de teoretizat, adică modul în care se schimbă lucrurile.

Ne-a transformat modul în care privim lumea naturală şi fizică, de la unul care a fost în esenţă statică la unul dinamic. Spre sfârşitul secolului al XIX-lea, general-maiorul lui Gilbert şi Sullivan se putea lăuda în opera comică Piraţii din Penzance în legătură cu înălţimile realizării lui:  Cu multe fapte vesele despre pătratul ipotenuzei. Sunt foarte bun la calculul integral şi diferenţial. Slavă Domnului că cineva este.

50 de idei geniale care au schimbat omenirea – John Farndon. Traducere Grall Soft. Editura Litera, 2012